Cálculos de Incerteza

O CalibraFácil realiza os cálculos de incerteza de medição seguindo o GUM (JCGM 100:2008) — o guia internacional para expressão de incerteza de medição. Esta página descreve a metodologia aplicada nos cálculos, permitindo que responsáveis técnicos e gerentes da qualidade compreendam e validem os resultados apresentados nos certificados.

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Metodologia GUM

O motor implementa propagação de incertezas de primeira ordem conforme o GUM, combinando avaliações Tipo A e Tipo B para obter a incerteza expandida do resultado de medição.

Incerteza Tipo A (avaliação estatística)

Para calibrações com séries de leituras repetidas, o motor calcula:

Média aritmética:

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Desvio padrão experimental:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Incerteza padrão da média:

$$u_A = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Com graus de liberdade $\nu_A = n - 1$.

Incerteza Tipo B (avaliação não estatística)

Para contribuições de incerteza provenientes de certificados de calibração, especificações do fabricante ou resolução do instrumento, o valor informado é convertido em incerteza padrão usando o divisor da distribuição correspondente:

$$u_B = \frac{a}{d}$$

Onde $a$ é o meio-intervalo informado e $d$ é o divisor da distribuição.

Quando o certificado do padrão informa incerteza expandida $U$ com fator $k$, o motor converte automaticamente: $u_B = U / k$.

Os componentes Tipo B são configurados no Construtor de Métodos.

Incerteza combinada

Todas as contribuições são combinadas pela soma em quadratura, conforme a Equação 10 do GUM, incluindo termos de correlação quando aplicáveis:

$$u_c^2(y) = \sum_{i=1}^{N} c_i^2\, u^2(x_i) + 2 \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} c_i\, c_j\, u(x_i, x_j)$$

Onde $c_i = \partial f / \partial x_i$ é o coeficiente de sensibilidade — calculado simbolicamente pelo motor a partir da fórmula do método, ou fornecido explicitamente pelo autor do método quando necessário.

O motor aceita relações de correlação $r(x_i, x_j) \in [-1, 1]$ e covariância $u(x_i, x_j)$ entre grandezas de entrada, com validação de matriz positiva semidefinida (PSD). Quando todas as grandezas são declaradas independentes, os termos cruzados se anulam e a expressão reduz-se à soma em quadratura simples.

Graus de liberdade efetivos

Para garantir cobertura correta — especialmente com amostras pequenas — o motor calcula os graus de liberdade efetivos pela fórmula de Welch-Satterthwaite:

$$\nu_{\text{eff}} = \frac{u_c^4(y)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} \frac{\left[ c_i \cdot u_i(y) \right]^4}{\nu_i}}$$

O resultado fracionário é truncado para o inteiro inferior. Essa escolha é conservadora: para um $u_c$ fixo, um $\nu_{\text{eff}}$ menor produz um $k$ maior pela tabela t-Student e, portanto, uma incerteza expandida $U$ maior. Truncar (em vez de arredondar) garante que $k$ não seja subestimado. A regra é a do GUM JCGM 100:2008, §G.4.1.

Incerteza expandida e fator de abrangência

A incerteza expandida é:

$$U = k \cdot u_c$$

O fator $k$ não é fixo em 2,0. O motor calcula $k$ a partir do quantil da distribuição Student-t com base nos graus de liberdade efetivos e na probabilidade de cobertura informada.

A probabilidade de cobertura é arbitrária — qualquer valor em $(0, 1)$ é aceito. As escolhas mais usadas em laboratórios de calibração:

Extrato da tabela t-Student (95,45%):

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Funções não-suaves no modelo de medição

A propagação GUM de primeira ordem assume que a função do mensurando $Y = f(X_1, \ldots, X_n)$ é diferenciável em torno do ponto de operação. Funções não-suaves — abs, floor, ceil, round, min, max — quebram essa hipótese.

O motor rejeita modelos que usem essas funções na propagação GUM, a menos que o autor do método:

1. forneça coeficientes de sensibilidade explícitos para todas as grandezas de entrada (substituindo a diferenciação simbólica), e
2. declare expressamente a aceitação dessa configuração ao compilar o método.

Modelos fortemente não-lineares ou com descontinuidades exigem avaliação por método independente (por exemplo, Monte Carlo, conforme GUM Supplement 1 — não implementado pelo motor).

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Determinismo e auditabilidade

O motor opera em modo decimal/racional determinístico para literais decimais e aritmética básica (soma, subtração, multiplicação, divisão, potência inteira). Funções transcendentais (sin, cos, exp, log) e quantis Student-t usam IEEE-754 double-precision do JavaScript.

Cada cálculo emite, além do valor numérico:

• JSON canônico com a fórmula normalizada, AST, entradas, parâmetros e resultado;
• Fingerprint FNV-1a 64-bit sobre o JSON canônico — identificador estável da execução, embutido no snapshot da calibração;
• a versão do motor (ENGINE_VERSION) em uso.

Esses três artefatos permitem reconstrução determinística e correlação de resultados entre execuções e em auditorias. Detalhes em Rastreabilidade.

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Unidades

Unidades são tratadas como metadados textuais. O motor não realiza álgebra dimensional nem conversões automáticas — a coerência dimensional do modelo é responsabilidade do autor do método. Em campos do construtor de métodos, as unidades aparecem como rótulos e devem ser consistentes na configuração do método e nas leituras coletadas.

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Limitações declaradas

1. Propagação de primeira ordem. Modelos fortemente não-lineares na vizinhança do ponto de operação podem exigir Monte Carlo (não implementado).
2. Funções não-suaves (abs, floor, ceil, round, min, max) só são aceitas na propagação se acompanhadas de coeficientes de sensibilidade explícitos.
3. Sem álgebra dimensional. Unidades são metadados; a coerência é responsabilidade do projeto do método.
4. Quantil Student-t para $\nu \geq 500$ é tratado como assintótico à distribuição normal ($k = 2{,}00$ para 95,45%).
5. Funções transcendentais e quantis usam IEEE-754 double-precision; os limites de precisão correspondentes valem.

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Referências

1. JCGM 100:2008 (GUM) — Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement. Em particular, §G.4 (graus de liberdade efetivos) e §6 (incerteza expandida).
2. JCGM 200:2012 (VIM) — International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms.
3. ISO/IEC 17025:2017 — cláusula 7.2.2 (validação de métodos), incluindo 7.2.2.1 (técnicas) e 7.2.2.4 (registros de validação).
4. EA-4/02 M:2022 — Evaluation of the Uncertainty of Measurement in Calibration.